Videocorso di Analisi Matematica

05 agosto 2021

"Non tutti i mali vengono per nuocere" e "Fare di necessità virtù" sono i detti che meglio spiegano questo videocorso: la necessità di insegnare in teledidattica mi ha dato la possibilità di registrare le lezioni di Analisi Matematica I che ho rivolto agli studenti di Fisica nell'anno accademico 2020/21, e che metto a disposizione di tutti gli interessati. Ciò che scrivo nei video si trova qui allegato in PDF.

Attenzione: non c'è stata alcuna revisione a posteriori! Cioè, queste sono le lezioni così come si sono svolte, compresi gli errori che ho commesso e le cadute della connessione a internet. Le lezioni possono essere utili se completate con l'utilizzo di un valido testo, e soprattutto se accompagnate dal raziocinio degli studenti.

Successioni e serie numeriche

     1. 07/10/2020
            a) Presentazione del corso.
            b) Il limite di una successione.

     2. 08/10/2020
            a) Calcolo del limite di semplici successioni.
            b) Pregi e difetti di una scorciatoia.

     3. 09/10/2020
            a) Numeri reali. Teoremi sui limiti.
            b) Funzioni, dominio e codominio. Altri teoremi sui limiti.

     4. 13/10/2020
            a) Potenze con esponente reale: definizione.
            b) Risposte alle domande degli studenti.

     5. 14/10/2020
            a) Maggioranti, minoranti, successioni limitate.
            b) Teorema del confronto, e applicazione alla progressione geometrica con base b > 1.

     6. 15/10/2020
            a) Il limite della potenza nα per α > 0.
            b) La successione an con |a| < 1.

     7. 16/10/2020
            a) Esplorazione di semplici successioni mediante foglio di calcolo elettronico.
            b) Tipici problemi di calcolo di limiti. Prodotto con un fattore divergente.

     8. 20/10/2020
            a) La completezza dell’insieme dei numeri reali. Il numero di Nepero.
            b) Le forme indeterminate.

     9. 21/10/2020
            a) Confutazione della sedicente “congettura della parte intera”.
            b) Il valore assoluto e la disuguaglianza triangolare.

     10. 22/10/2020
            a) La proprietà dell’estremo superiore (si intende S≠Ø: vedere la lezione del 29/10/2020).
            b) Il simbolo di sommatoria.

     11. 23/10/2020
            a) Alcune proprietà delle sommatorie. Somma di alcuni termini di una progressione geometrica.
            b) La successione dei fattoriali e i coefficienti binomiali.

     12. 27/10/2020
            a) Alcune proprietà dei coefficienti binomiali.
            b) Il triangolo di Tartaglia/Pascal.

     13. 28/10/2020
            a) Altre proprietà dei coefficienti binomiali.
            b) Dimostrazione della validità della formula di Newton per lo sviluppo della potenza ennesima del binomio.

     14. 29/10/2020
            a) Carattere di una serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza di una  serie.
            b) Serie armonica. Teorema del confronto.

     15. 03/11/2020
            a) Semplici esempi di serie numeriche: convergenti, divergenti, indeterminate.
            b) La serie armonica.

     16. 04/11/2020
            a) La proprietà associativa per le serie. Monotonia della successione bn = (1 + 1/n)n+1.
            b) La serie geometrica.

     17. 05/11/2020
            a) La proprietà distributiva per le serie.
            b) La convergenza assoluta. Il criterio del rapporto.

     18. 06/11/2020
            a) La serie di Mengoli.
            b) I criteri della radice e di Leibniz.

     19. 10/11/2020
            a) Esempi di applicazione di alcuni criteri di convergenza per le serie.
            b) Intervalli. Funzioni pari e funzioni dispari. Esempi.
       
Le funzioni e i loro limiti

     20. 11/11/2020
            a) Cenni di topologia e di logica. Potenze con esponente intero.
            b) Parte pari e parte dispari. Monotonia. Limite finito per x che tende all’infinito.

     21. 12/11/2020
            a) Studio della parità e della disparità di semplici funzioni. Restrizione di una funzione.
            b) Limite infinito per x che tende all’infinito. Teoremi sui limiti. Qualche limite notevole.

     22. 13/11/2020
            a) La composizione di due funzioni. Dominio, immagine di una funzione. Traslazione in direzione y.
            b) Limite di f(x) per x che tende a -∞ o ad un punto al finito. Cambiamento di variabile.

     23. 17/11/2020
            a) Esempi di applicazione della definizione di limite: 1/x → 0 e x2 → +∞ quando x → +∞.
            b) Esempi di applicazione della definizione di limite e del teorema del confronto: xα → +∞ quando x → +∞ e α > 0. Il significato dell’uguaglianza 1/∞ = 0.

     24. 18/11/2020
            a) Limite all’infinito della funzione esponenziale.
            b) Esempi di calcolo di limiti al finito. Cambiamento di variabile. La forma indeterminata 1.

     25. 19/11/2020
            a) Altri esempi di calcolo di limiti al finito: la funzione parte intera.
            b) Limiti di funzioni polinomiali.

     26. 20/11/2020
            a) I limiti delle funzioni razionali.
            b) La continuità da destra e da sinistra. Esempi e controesempi.

     27. 24/11/2020
            a) Esempi di calcolo di limiti di polinomi e di funzioni razionali per x → ±∞.
            b) Continuità dei polinomi e delle funzioni razionali.

     28. 25/11/2020
            a) Calcolo del limite di (x2 + 1)½ – x per x → +∞, mediante razionalizzazione.
            b) Asintoto di una funzione f(x) per x → +∞: condizioni necessarie e sufficienti. Cenni all'iperbole equilatera.

     29. 26/11/2020
            a) Asintoto di una funzione f(x) per x → -∞. Asintoti verticali. Esempi. Continuità da sinistra della funzione f(x) = [x] (parte intera) per x ∈ ℝ\ℤ
            b) Teoremi sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni esponenziali e delle funzioni potenza.

     30. 27/11/2020
            a) Continuità della funzione f(x) = xα nel punto x0 = 0. Teorema degli zeri e dei valori intermedi.
            b) Funzione inversa di una funzione data: definizione e continuità. Funzione logaritmica.
        
Il calcolo differenziale

     31. 01/12/2020
            a) Le principali proprietà dei logaritmi.
            b) Definizione della derivata. Derivate delle funzioni mx+q e log|x|.

     32. 02/12/2020
            a) Il teorema di Weierstrass. Dimostrazione del teorema degli zeri.
            b) Continuità e derivabilità. Derivata destra e derivata sinistra.

     33. 03/12/2020
            a) La funzione sett senh y. Il differenziale di una funzione: introduzione.
            b) Il differenziale di una funzione: definizione. Il simbolo di Landau o (o piccolo). Formula di Taylor con il resto di Peano. Equazione della retta tangente.

     34. 04/12/2020
            a) Interpretazione geometrica della derivata. Derivata della funzione xn.
            b) Linearità dell’operatore di derivazione. Regola di derivazione del prodotto.

     35. 09/12/2020
            a) Forma indeterminata 0/0: concetto.
            b) Forma indeterminata 0/0: esempi. Derivata della funzione f(x)=1/x. Regola di derivazione della funzione composta.

     36. 10/12/2020
            a) Derivata logaritmica. Derivata del rapporto di due funzioni derivabili. Derivata di una funzione pari.
            b) Indicazioni sulle modalità di svolgimento degli esami. Studio del grafico di una funzione.

     37. 11/12/2020
            a) Studio del grafico di una funzione. Circonferenza. Retta tangente.
            b) Derivazione della funzione inversa. Derivata di ex. Derivata di xα.

     38. 15/12/2020
            a) Punti angolosi e cuspidi. Classificazione dei punti di discontinuità.
            b) Il radiante. Definizione delle principali funzioni trigonometriche.

     39. 16/12/2020
            a) Alcune identità trigonometriche. Formule di addizione.
            b) Derivazione delle funzioni sen x, cos x e tg x.

     40. 17/12/2020
            a) La funzione gaussiana.
            b) Relazione fra massimi, minimi e derivata. Punti critici.

     41. 18/12/2020
            a) Teorema di Lagrange. Formula di Taylor con il resto di Lagrange.
            b) Test di monotonia. Test di convessità. Flessi.

     42. 07/01/2021
            a) Arcoseno e arcocoseno. Seno e coseno con argomenti sfasati di π/2.
            b) Teorema di Cauchy. Regola di de l’Hôpital.
       
Il calcolo integrale

     43. 08/01/2021
            a) Applicazioni della regola di de l'Hôpital. Studio del grafico della funzione y = tg x.
            b) Derivata della funzione x = arctg y.
            c) Grafico della funzione x = arctg y. Primitive: definizione, esempi, infinità delle primitive (se esistono).

     44. 12/01/2021
            a) Ricerca delle primitive di alcune semplici funzioni. Funzioni che non ammettono primitive. Funzioni la cui derivata è discontinua.
            b) L'integrale indefinito. Integrali immediati.

     45. 13/01/2021
            a) Integrali quasi immediati.
            b) Regola di integrazione per sostituzione.

     46. 14/01/2021
            a) Regola di integrazione per parti.
            b) L'integrale di Riemann: definizione, interpretazione geometrica, cenni storici.

     47. 15/01/2021
            a) Proprietà dell'integrale definito.
            b) Disuguaglianza triangolare. Additività dell'integrale. Teorema di valutazione e applicazioni.

     48. 19/01/2021
            a) Riepilogo sul calcolo integrale.
            b) Integrali generalizzati, detti anche integrali impropri.
            c) Esempi di integrazione in senso generalizzato o improprio.

 

Questionario e social

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