Insegnamenti

Seleziona l'Anno Accademico:     2017/2018 2018/2019 2019/2020 2020/2021 2021/2022 2022/2023
Docente
FRANCESCO ARRAI (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[70/72]  INGEGNERIA CIVILE [72/00 - Ord. 2013]  PERCORSO COMUNE 8 80
[70/73]  INGEGNERIA PER L'AMBIENTE E IL TERRITORIO [73/00 - Ord. 2020]  PERCORSO COMUNE 8 80
[70/77]  INGEGNERIA CHIMICA [77/00 - Ord. 2020]  PERCORSO COMUNE 8 80

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente acquisirà una conoscenza teorica e operativa della teoria delle serie, della topologia degli spazi euclidei, del concetto di limite per una funzione di più variabili reali, dell’ottimizzazione in più variabili, del calcolo integrale in più variabili, della teoria delle curve e delle superfici, dei campi vettoriali. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Lo studente verrà introdotto alle principali applicazioni dei metodi analitici alla risoluzione di problemi geometrici e fisici. 3. Autonomia di giudizio. Lo studente acquisirà la capacità di inquadrare un singolo problema di ottimizzazione, calcolo di volumi e aree, campi vettoriali nella categoria appropriata e di applicare ad esso il corretto metodo risolutivo. 4. Abilità nella comunicazione. Il corso affronta, in forma talvolta semplificata, temi di matematica superiore e fornisce un linguaggio scientifico rigoroso. 5. Capacità di apprendere. Lo studente potrà, grazie alle nozioni e capacità acquisite in questo corso, affrontare la maggior parte dei problemi suscitati dalle scienze applicate e dall’ingegneria.

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione
Conoscenza e capacità di comprensione dei presupposti teorici del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali.

2. Capacità applicative
Capacità di applicare il calcolo differenziale e integrale alla determinazione dei limiti, dei massimi e dei minimi di semplici funzioni di due variabili reali, e al calcolo della circuitazione e del flusso di un dato campo vettoriale lungo particolari curve e superfici.

3. Autonomia di giudizio
Capacità di interpretare il significato fisico o geometrico dei dati e dei risultati del calcolo anche al fine di valutare l'attendibilità dei risultati stessi.

4. Abilità nella comunicazione
Saper comunicare informazioni, idee, problemi e soluzioni basate sul calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali.

5. Capacità di apprendere
Sviluppare quelle capacità di apprendimento che sono necessarie per assimilare i presupposti teorici del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali.

Prerequisiti

È richiesta la conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria e Algebra.

Prerequisiti

Buona conoscenza degli argomenti di analisi matematica 1 e geometria.

Contenuti

1. Serie numeriche e di funzioni (10 ore). Serie numeriche: definizioni di serie convergente, divergente, indeterminata, criterio di Cauchy. Serie e termini positivi: criteri del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta, criterio di Leibniz. Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, criterio di Cauchy, teoremi di passaggio al limite. Serie di funzioni: convergenza totale, serie di potenze, raggio di convergenza. Serie di Taylor, funzioni analitiche. 2. Spazi euclidei (5 ore). Topologia di R^n (n=2,3): punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione; insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi, convessi. Coordinate polari. 3. Funzioni di più variabili (5 ore). Funzioni definite in R^n: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Limite di una funzione in un punto e all'infinito. Funzioni continue. Teoremi di Weierstraß, dei valori intermedi. Estremi locali, globali. Funzioni vettoriali: limiti, continuità. 4. Calcolo differenziale in più variabili (15 ore). Derivate parziali, direzionali di una funzione. Gradiente. Differenziale. Piano tangente al grafico. Derivate di ordine superiore. Matrice hessiana.
Classificazione dei punti critici. Formula di Taylor. Ottimizzazione libera. Ottimizzazione vincolata: moltiplicatori di Lagrange. Funzioni vettoriali: matrice jacobiana. 5. Calcolo integrale in più variabili (15 ore). Integrali doppi: formule di riduzione, teorema della media, area di un insieme in R^2. Integrali tripli: formule di riduzione, volume di un insieme in R^3. Cambiamenti di variabili. Solidi di rotazione. 6. Curve e superfici (15 ore). Curve in R^n (n=2,3), sostegni, parametrizzazioni, equazioni cartesiana e polare. Retta tangente. Curve regolari (a tratti), rettificabili. Integrali curvilinei di prima specie. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Curve di Jordan. Superfici semplici, regolari, con o senza bordo in R^3. Equazioni cartesiana e parametrica. Piano tangente. Orientamento di una superficie e del suo bordo. Integrali superficiali di prima specie. Area di una superficie. Superfici di rotazione. 7. Campi vettoriali (15 ore). Campi in R^n (n=2,3). Divergenza, rotore, laplaciano. Campi conservativi, irrotazionali, solenoidali. Potenziale. Integrali curvilinei di seconda specie (circuitazione). Integrali superficiali di seconda specie (flusso). Teoremi di Gauß-Green, della divergenza, di Stokes. Forme differenziali.

Contenuti

1. Funzioni in R^N . Insiemi in R^N : punti di accumulazione e isolati, punti interni , esterni e di frontiera, insiemi limitati, chiusi, aperti, compatti, connessi.Definizione di funzione in R^N , dominio, condominio, definizione di limite finito e infinito, proprietà dei limiti. Continuità. Derivate direzionali e parziali e loro significato geometrico. Differenziabilità e legami tra continuità, derivabilità parziale e differenziabilità. Piano tangente e significato geometrico del differenziale. Derivate e differenziale di ordine superiore. Formula di Taylor. Funzione implicite (in R2) e teorema del Dini.
2.Ottimizzazione delle funzioni di più variabili.
Esempi preliminari. Estremi liberi. Condizioni necessarie. Forme quadratiche. Condizioni sufficienti per estremi liberi. Principio di massimo per le funzioni armoniche.
Estremi vincolati per funzioni di 2 variabili.: condizioni sufficienti.

3. Curve e superfici
Curve piane rappresentate in forma implicita. Rappresentazione parametrica di una curva piana. Curve semplici e differenziabili. Curve generalmente differenziabili. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva semplice e differenziabile. Ascissa curvilinea. Superfici semplici e differenziabili di R3. Matrice Jacobiana. Piano tangente . Pagina positiva e orientamento del bordo di una superficie.

4. Integrali doppi e tripli.
Integrali doppi. Riduzione di un integrale doppio a integrale semplice, cambiamento delle variabili di integrazione, applicazioni. Integrali tripli estesi a domini normali. Calcolo degli integrali tripli per riduzione a integrali doppi e semplici con l’uso di coordinate polari e cilindriche, applicazioni. Volume dei solidi, in particolare di solidi di rotazione.

5. Integrali curvilinei e superficiali.
Integrali curvilinei, applicazioni. Forme differenziali esatte e loro integrazione. Funzione potenziale. Aree delle superfici e in particolare di quelle cartesiane e quelle di rotazione. Integrali superficiali. Flussi.

6. Trasformazioni integrali.
Teoremi di Green-Gauss e Stokes e loro applicazioni.

7. Successioni di funzioni e serie numeriche e di funzioni.
Definizione di successione di funzioni, esempi. Serie numeriche: definizione, convergenza di una serie numerica, condizione necessaria. Serie geometrica, serie telescopica serie armonica generalizzata. Criteri sufficenti per la convergenza di una serie numerica (criterio del confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Serie di segno alterno. Convergenza assoluta. Serie di Leibniz. Serie di funzioni convergente semplicemente, totalmente e uniformemente. Criterio di uniforme convergenza (Weierstrass). Serie telescopiche. Serie di potenze in campo reale, serie di Taylor e Mac Laurin. Teorema di derivazione e integrazione per serie.

Contenuti

1. Serie numeriche e di funzioni (10 ore). Serie numeriche: definizioni di serie convergente, divergente, indeterminata, criterio di Cauchy. Serie e termini positivi: criteri del confronto, del rapporto, della radice, Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta, criterio di Leibniz. Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, criterio di Cauchy, teoremi di passaggio al limite. Serie di funzioni: convergenza totale, serie di potenze, raggio di convergenza. Serie di Taylor, funzioni analitiche. 2. Spazi euclidei (5 ore). Topologia di R^n (n=2,3): punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione; insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi, convessi. Coordinate polari. 3. Funzioni di più variabili (5 ore). Funzioni definite in R^n: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Limite di una funzione in un punto e all'infinito. Funzioni continue. Teoremi di Weierstraß, dei valori intermedi. Estremi locali, globali. Funzioni vettoriali: limiti, continuità. 4. Calcolo differenziale in più variabili (15 ore). Derivate parziali, direzionali di una funzione. Gradiente. Differenziale. Piano tangente al grafico. Derivate di ordine superiore. Matrice hessiana.
Classificazione dei punti critici. Formula di Taylor. Ottimizzazione libera. Ottimizzazione vincolata: moltiplicatori di Lagrange. Funzioni vettoriali: matrice jacobiana. 5. Calcolo integrale in più variabili (15 ore). Integrali doppi: formule di riduzione, teorema della media, area di un insieme in R^2. Integrali tripli: formule di riduzione, volume di un insieme in R^3. Cambiamenti di variabili. Solidi di rotazione. 6. Curve e superfici (15 ore). Curve in R^n (n=2,3), sostegni, parametrizzazioni, equazioni cartesiana e polare. Retta tangente. Curve regolari (a tratti), rettificabili. Integrali curvilinei di prima specie. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Curve di Jordan. Superfici semplici, regolari, con o senza bordo in R^3. Equazioni cartesiana e parametrica. Piano tangente. Orientamento di una superficie e del suo bordo. Integrali superficiali di prima specie. Area di una superficie. Superfici di rotazione. 7. Campi vettoriali (15 ore). Campi in R^n (n=2,3). Divergenza, rotore, laplaciano. Campi conservativi, irrotazionali, solenoidali. Potenziale. Integrali curvilinei di seconda specie (circuitazione). Integrali superficiali di seconda specie (flusso). Teoremi di Gauß-Green, della divergenza, di Stokes. Forme differenziali.

Metodi Didattici

Lezioni frontali: 50 ore. Esercitazioni: 30 ore. Teoria ed esercizi vengono alternati senza soluzione di continuità, onde illustrare la correlazione fra i vari aspetti della disciplina. Il corso è accompagnato da attività di tutorato, simulazioni d’esame, e assistenza costante agli studenti. Una partecipazione attiva sarà fortemente incoraggiata. Sarà fatto uso della lavagna, di slide, e occasionalmente di programmi di calcolo. Le note del corso, integrative dei testi consigliati, verranno scritte e fornite agli studenti gradualmente.

Metodi Didattici

Lezioni frontali (50 ore), esercizi e laboratorio in collaborazione con gli studenti del corso (30 ore).

Verifica dell'apprendimento

La prova di verifica consta di due parti: una prova scritta e una prova orale.La prova scritta consta di 4 esrcizi riguardanti l'ottimizzazione,l'integrazione,la differenziabilità,le serie.Per accedere alla prova orale è richiesta allo scritto una votazione non inferiore a 18/30. All'orale è richiesta la conozcenza della teoria relativa agli esercizi svolti nella prova scritta. Saranno valutati prioritariamente: conoscenza dei contenuti, capacità di elaborazione autonoma, capacità di esposizione.

Testi

- Analisi matematica II (teoria ed esercizi).
casa editrice Springer.
autori Claudio Canuto, Anita Tabacco.

-Analisi Matematica 2.
casa editrice Zanichelli,
autori Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.

- Esercitazioni di Matematica Due. Prima e Seconda parte.
casa editrice Zanichelli.
autori Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.

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Questionario e social

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