Insegnamenti

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Docente
FRANCESCO DEMONTIS (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione.
L'insegnamento, rivolto a studenti del III anno del corso di Laurea in Matematica, si propone di far acquisire allo studente una conoscenza teorica e operativa dei concetti della meccanica analitica e, in particolare, del formalismo lagrangiano e/o hamiltaniano per sistemi soggetti a vincoli olonomi descritti da un numero finito di gradi di libertà (in particolare sistemi formati da un numero finito di corpi rigidi). I vari argomenti vengono approfonditamente descritti fornendo una rigorosa giustificazione teorica.
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate.
Durante il corso verranno discusse le possibili applicazioni dei metodi studiati, sia per quanto riguarda la risoluzione di particolari problemi matematici, sia per quanto concerne la loro applicazione in discipline affini (fisica e ingegneria).
3. Autonomia di giudizio.
Il corso fornisce agli studenti diligenti le competenze necessarie ad applicare le metodologie matematiche acquisite alla risoluzione di problemi applicativi che tipicamente si presentano nella meccanica.
4. Abilità comunicative.
La correzione della prova scritta tiene conto della capacità dello studente di esporre in modo ordinato e coerente gli argomenti studiati. La sua abilità comunicativa viene ulteriormente valutata durante la prova orale.
5. Capacità di apprendere.
Il corso fornisce agli studenti diligenti una preparazione di base sufficiente alla comprensione di testi matematici avanzati di Meccanica Analitica.

Prerequisiti

Risulta essere propedeutico al presente corso il superamento dell'esame Meccanica 1. In particolare, è necessario conoscere gli strumenti analitici e geometrici che permettano lo studio di funzioni di più variabili (derivate parziali, differenziale, studio di massimi e minimi relativi, integrali multipli, equazioni differenziali, etc.) e di curve e superfici sia in forma parametrica che come luogo degli zeri di una o due funzioni.

Contenuti

1. Equazioni cardinali della dinamica. Principio di D'Alembert e equazioni di Lagrange. Determinismo delle equazioni di Lagrange e spazio delle configurazioni di un sistema olonomo. Integrali primi dei momenti e coordinate cicliche. Momenti cinetici. Integrale primo dell'energia. Teoremi di conservazione e proprietà di simmetria. Discussione di Weierstrass e esercizi per sistemi olonomi con un grado di libertà. Esercizi per sistemi olonomi con due gradi di libertà. Teorema di Noether.
2. Principi differenziali e integrali della Meccanica. L'approccio variazionale alla Meccanica. Cenni di calcolo delle variazioni. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Equazioni di Eulero-Lagrange dedotte dal principio variazionale di Hamilton (per sistemi olonomi conservativi) e viceversa. Estensione del principio dell'Hamilton ai sistemi lagrangiani generali: equazioni di Eulero-Lagrange.
3. Le equazioni canoniche di Hamilton. Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani: Trasformazione di Legendre. Coordinate cicliche e teoremi di conservazione. Coordinate cicliche e metodo di Routh. Espressione esplicita della funzione hamiltoniana nel caso dinamico: esempi. Teoremi di conservazione e significato fisico dell'hamiltoniana.
4. Trasformazioni canoniche. Definizione. Teorema della funzione generatrice. Esempi di trasformazioni canoniche. Forma esplicita delle condizioni di completa canonicità: parentesi di Poisson. Formulazione simplettica.
5. Posizioni di equilibrio e Stabilità. Definizione di configurazione di equilibrio per un sistema materiale, in particolare per un sistema olonomo. Stabilità ed instabilità secondo Liapunov. Il teorema di Lagrange-Dirichlet sulla stabilità. Teorema d'instabilità di Liapunov.
6. Piccole oscillazioni. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad uno o due gradi di libertà attorno ad una configurazione di equilibrio stabile. Caso generale: equazione agli autovalori e riduzione agli assi principali. Frequenze di vibrazione libera e coordinate normali.
7. Il problema dei due corpi. Generalità. Riduzione al caso di un solo punto in un campo di forze centrali (problema ristretto dei due corpi). Trattazione newtoniana e lagrangiana del problema ristretto dei due corpi. Integrali primi nel problema ristretto dei due corpi. Casi particolari semplici del problema dei tre corpi.
8. Dinamica dei corpi rigidi. Equazioni di Eulero per un corpo rigido con un punto fisso.

Metodi Didattici

Il corso consiste di 64 ore di lezione frontale. Gli strumenti utilizzati per le lezioni frontali saranno sia la lavagna che tablet con sistema di proiezione via schermo in aula e via internet in streaming.

Al fine di garantire una maggiore efficacia dell'attività didattica, gli argomenti teorici sono spesso integrati da esercitazioni e discussioni guidate sui temi trattati sovolte dal docente sotto forma di tutoraggio (10-15 ore). Il docente presta inoltre assistenza costante agli studenti, nell'arco dell'intero anno accademico, sia nell'orario di ricevimento che attraverso messaggi di posta elettronica.
Il principale strumento a supporto della didattica è costituito da un canale Teams appositamente costruito per il corso di meccanica 2 e reso disponibile alcuni giorni prima dell'inizio del corso. Su tale canale sono disponibili informazioni aggiornate in tempo reale, che includono: un diario del corso che riporta gli argomenti svolti in ciascuna lezione, informazioni sulle attività didattiche e ulteriore materiale didattico.

Verifica dell'apprendimento

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di alcuni esercizi, inerenti l'intero programma del corso, che per essere risolti richiedono sia abilità operative che conoscenze teoriche. Si può sostenere la prova orale solo se si riporta una valutazione di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale consiste nella discussione degli argomenti non trattati con sufficiente chiarezza nella prova scritta e in ulteriori domande di approfondimento sull'intero programma svolto. La prova orale generalmente dura 30 minuti.

Per superare l'esame lo studente deve dimostrare di avere conseguito una conoscenza sufficiente di tutti gli argomenti del corso. Per conseguire il massimo punteggio (pari a 30/30 e lode) lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

Testi

Testo adottato: Herbert GOLDSTEIN, Charles POOLE, John SAFKO, Meccanica Classica, Zanichelli – Bologna (2005)

Testi di consultazione:
a) J.R. Taylor, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna (2006);
b) T. Levi Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale e complementi alle lezioni di meccanica razionale, Volumi 1 e 2 curato da Maschio G., Cirillo N. M., Ruggeri T. Editore: Compomat; Pubblicato a Gennaio 2013 (si tratta della ristampa del celebre trattato precedentemente edito da Zanichelli);
c) A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri - Torino (2002).
d) F. Talamucci, Esercizi Svolti sul Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano, Edizioni Nuova Cultura, Roma, 2014.

Altre Informazioni

Le lezioni si possono seguire mediante il team Meccanica 2 di codice pzxzmzg. Se uno studente lo desidera può richiedere un appuntamento per email: cornelis110553@gmail.com

Questionario e social

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