Insegnamenti

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Docente
ANDREA LOI (Tit.)
JORGE NUNO DOS SANTOS VITORIA
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 10 80

Obiettivi

Scopo dell'insegnamento è di fornire agli studenti gli elementi di base delle strutture algebriche quali gruppi e anelli, fondamentali in un corso di laurea in Matematica.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo delle tematiche del programma, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.
In particolare, l'insegnamento si pone come obiettivo acquisire una buona conoscenza della teoria dei gruppi e degli anelli. Una applicazione importante sarà il Teorema di Frobenius-Stickelberger sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti. Nell'ultima parte del corso verranno anche trattati l'anello di polinomi e le costruzioni con riga e compasso.

-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà: saper applicare le nozioni e le tecniche apprese sia a esercizi standard sia alla risoluzione di problemi nuovi, che richiedono l'elaborazione autonoma di una strategia, o di piccole dimostrazioni rigorose, non identiche a quelle già conosciute ma ispirate a esse.

- AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Saper riconoscere quando una procedura logica è corretta. 
Apprendere le tecniche di dimostrazione standard dell'algebra astratta.

- ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente sarà in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sarà inoltre in grado di discutere e dimostrare correttamente i risultati più rilevanti relativi all'algebra di base.

- CAPACITÀ DI APPRENDERE
Capacita di imparare a risolvere autonomamente esercizi e problemi complessi. Capacità di saper leggere e comprendere un testo avanzato di matematica.

Prerequisiti

Funzioni ineittive suriettive e bigettive; Insiemi parzialmente e totalmente ordinati; Lemma di Zorn; relazioni d'equivalenza e partizioni; numeri primi e teorema fondamentale dell'algebra; funzione di Eulero; applicazioni lineari e affini; calcolo matriciale.

Contenuti

Per il programma dettagliato si veda:
loi.unica.it

Strutture algebriche: Semigruppi, monoidi, gruppi, anelli e campi Gruppi e sottogruppi: gruppi di permutazioni; sottogruppi; classi laterrali e sottogruppi normali; gruppi lineari.
Omomorfismi e prodotti diretti di gruppi: quozienti di gruppi; omomorfismi di gruppi; i teoremi di omomorfismi per i gruppi; il gruppo degli automorfismi di un gruppo; il prodotto diretto di gruppi.
Gruppi abeliani: gruppi ciclici; gruppi abeliani finiti; alcuni gruppi abeliani infiniti.
Anelli e ideali: definizione ed esempi; leggi di cancellazione in un anello; il corpo dei quaternioni; sottoanelli; idealli; l’anello quoziente; ideali primi e massimali in anelli commutativi.
Omomorfismi e prodotti diretti di anelli: omomorfismi e nuclei; teoremi di omomorfismo per anelli; anelli unitari.
I. Polinomi, Campi e Costruzioni con riga e compasso
1. L'annello di polinomi su un campo. Critteri di irreducibilità.
2. Estensioni algebriche. Campi di reducibilità completa.
3. Campi finiti.
4. Costruzioni con riga e compasso.

Metodi Didattici

Compatibilmente con la modalità di insegnamento mista prevista nel Manifesto degli Studi per l'A.A. 2020-21 a seguito dell'emergenza COVID-19, gli strumenti utilizzati per le lezioni frontali saranno sia la lavagna che tablet con sistema di proiezione via schermo in aula e via internet in streaming.

Verifica dell'apprendimento

La prova scritta è della durata di 180 minuti e consiste in tre esercizi (uno sulla sulla teoria dei gruppi, uno sulla teoria degli anelli e il terzo sulle costruzioni con riga e compasso ). Un esito positivo alla prova scritta è necessario per poter accedere alla prova orale.
La prova orale (la cui data è concordata con lo studente) si svolge alla lavagna o su teams ed è della durata di circa 45 min. con domande sulle parti principali del programma svolto. Un esito negativo della prova orale impone la ripetizione dell’intera procedura (scritto e orale in serie). Il voto finale, espresso in trentesimi, è una media pesata tra il risultato della prova scritta e della prova orale. Compatibilmente con la modalità di esami prevista nel Manifesto degli Studi per l'A.A. 2020-21 a seguito dell'emergenza COVID-19, gli esami si terranno o in presenza oppure sulla piattaforma Teams o su una piattaforma telematica alternativa concordata in precedenza tra il docente e lo studente.

Testi

D. Dikranjan e M. L. Lucido, Aritmetica e Algebra, Liguori Editore;
I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti (2003);
C. Pinter, A book of abstract Algebra, McGraw-Hill Book Company.

Altre Informazioni

Nel sito http://people.unica.it/andrealoi/didattica/materiale-didattico/ lo studente potrà trovare il programma dettagliato e gli esercizi proposti durante le lezioni.

Non esiste un orario di ricevimento studenti. Lo studente può richiedere un appuntamento col docente tramite posta elettronica.

Il nostro Ateneo fornisce supporto per studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni a questo link:
http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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