Anno accademico 2018/2019

01 October 2018

Analisi superiore 1

Orario di ricevimento: da concordare tramite mail o telefonicamente.

Programma sintetico del corso “ANALISI SUPERIORE 1”:

  • Analisi complessa: richiami sui numeri complessi; funzioni complesse: funzioni complesse di variabile complessa; limiti di funzioni complesse; funzioni olomorfe; polinomi complessi; la condizione di Cauchy-Riemann; alcune particolari funzioni complesse tra cui, in particolare: esponenziale complesso; funzioni trigonometriche complesse; logaritmo complesso; radice n-esima complessa; curve in campo complesso; mappe conformi; integrali curvilinei di funzioni complesse; primo e secondo Teorema di Cauchy e formule di Cauchy; funzioni primitive; teorema di Morera; richiami sulle serie di potenze e analiticità delle funzioni olomorfe; Teorema di Liouville; principio di identità; serie di Laurent; zeri e singolarità delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; Teorema di Picard; Teorema dei residui; Lemma di Jordan.
  • Elementi di analisi funzionale: richiami su spazi normati e spazi di Banach; spazi di Hilbert; operatori e funzionali lineari; dualità; topologie deboli; spazi riflessivi; spazi separabili; spazi di Lebesgue: richiami su alcuni risultati relativi all’integrazione di Lebesgue; definizione e principali proprietà degli spazi L^p; disuguaglianza di Holder; Teorema di Fischer-Riesz; riflessività, separabilità e duale; Teorema di rappresentazione di Riesz; convoluzione e regolarizzazione; criterio di compattezza forte.
  • Trasformazione di Fourier: trasformata di Fourier in L^1(R); definizione e proprietà; trasformazione di Fourier e derivazione; trasformazione e convoluzione; antitrasformata di Fourier; trasformata di Fourier in L^2(R); Teorema di Plancherel; alcune applicazioni.
  • Trasformazione di Laplace: definizione e proprietà; inversione della trasformata di Laplace; legame con la trasformazione di Fourier; alcune applicazioni.

Programma dettagliato del corso (che contiene indicazioni precise sui diversi argomenti trattati e sulle dimostrazioni (c.d. = con dimostrazione) richieste per la prova orale).

Prerequisiti: calcolo differenziale e integrale in una e più variabili; topologia generale;
forme differenziali lineari; successioni e serie di funzioni; serie di potenze e serie di Fourier; funzioni analitiche; equazioni differenziali ordinarie; misura e integrazione secondo Lebesgue.

Testi di riferimento: i testi principali utilizzati durante il corso sono i seguenti (rispettivamente, per gli argomenti: analisi complessa, analisi funzionale, trasformate):

L.V. Ahlfors, Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, third edition, McGraw-Hill (1979).

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev Spaces and partial differential equations, Springer, New York (2011).

G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli (2001).

Dispense: si vedano le dispense (aggiornate più di recente) relative all'anno accademico in corso.

Modalità della prova d’esame:

La verifica dell’apprendimento avviene tramite una prova scritta e una orale. La prova scritta prevede la risoluzione di un esercizio di analisi complessa (a tal proposito si veda l’obiettivo formativo “conoscenze applicative”), simile a quelli svolti durante le esercitazioni in aula, e una domanda a risposta aperta, riguardante i contenuti del programma relativi all’analisi complessa, che può richiedere la dimostrazione di un teorema e/o l’esposizione di concetti e/o l’esibizione di un esempio; la durata della prova scritta è di due ore e mezza.
La prova orale consiste in un colloquio durante il quale lo studente deve dimostrare di conoscere i contenuti del corso riguardanti l’analisi funzionale e le trasformate: il docente fa tre domande riguardanti gli argomenti trattati a lezione; alle tre domande principali se ne possono aggiungere eventualmente altre chiarificative, volte ad accertare che lo studente abbia padronanza dei contenuti (il numero degli interventi del docente dipende, ovviamente, anche dal livello di preparazione dello studente: se è sufficientemente esaustivo, le ulteriori domande saranno ridotte); durante l’esposizione si tiene in considerazione la capacità di collegare gli argomenti trattati, di citare autonomamente (senza che venga espressamente richiesto) esempi e/o applicazioni (visti a lezione) della teoria esposta e di menzionare, eventualmente, qualche altro esempio o esercizio trovato nei libri di consultazione forniti dal docente. La durata della prova dipende dal livello di preparazione dello studente; in media è di 45 minuti.

Il voto è espresso in trentesimi in entrambe le prove, e il voto finale è ottenuto facendo la media dei due. Nella prova scritta viene specificato il punteggio assegnato a ciascuna parte da svolgere. Vengono valutati il livello di conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di mettere in relazione i contenuti, la chiarezza e correttezza espositiva e la capacità di applicazione delle conoscenze relativamente alla parte degli esercizi di analisi complessa.
Per superare l’esame lo studente deve dimostrare di possedere una conoscenza di base degli argomenti trattati nel corso. La lode viene attribuita nel caso di prove particolarmente brillanti.

Le date degli appelli (6 in un anno accademico) sono fissate per la prova scritta, mentre la successiva prova orale può essere concordata col docente (personalmente, telefonicamente o via email) con almeno una settimana d’anticipo, ma deve essere sostenuta entro tre mesi dalla prova scritta.

Date delle prove scritte d’esame:

21 gennaio 2019 – Palazzo delle Scienze, ore 9:00, aula B;

1 febbraio 2019: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula B;

22 febbraio 2019: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula B;

13 giugno 2019: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

11 luglio 2019: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula B;

13 settembre 2019: Palazzo delle scienze, ore 9:30, aula D.

Altre informazioni.

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell’apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Per ulteriori dettagli e informazioni sul corso si veda la scheda dell’insegnamento al link.

Questionnaire and social

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