Anno accademico 2019/2020

01 October 2019

Analisi Superiore 1

Orario di ricevimento: da concordare tramite mail o telefonicamente.

Programma sintetico del corso “ANALISI SUPERIORE 1” – LM in Matematica – 9 CFU (72 ore):

  • Analisi complessa: richiami sui numeri complessi; funzioni complesse: funzioni complesse di variabile complessa; limiti di funzioni complesse; funzioni olomorfe; la condizione di Cauchy-Riemann; alcune particolari funzioni complesse tra cui, in particolare: polinomi complessi; esponenziale complesso; funzioni trigonometriche complesse; logaritmo complesso; radice n-esima complessa; funzioni armoniche; curve in campo complesso; mappe conformi; integrali curvilinei di funzioni complesse; funzioni primitive; teorema di Morera; primo e secondo Teorema di Cauchy e formule di Cauchy; richiami sulle serie di potenze e analiticità delle funzioni olomorfe; Teorema di Liouville; principio di identità; prolungamento analitico; principio del massimo modulo; serie di Laurent; zeri e singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; Teorema di Casorati; Teorema di Picard; Teorema dei residui; Teorema dell’indicatore logaritmico; Teorema di Rouché; Lemma di Jordan. Alcune tipologie di integrali risolvibili tramite l’integrazione complessa.
  • Elementi di analisi funzionale: richiami su spazi normati e spazi di Banach; operatori e funzionali lineari; dualità; teorema di Helly-Hahn-Banach; teorema di Banach-Steinhaus; topologie deboli; spazi riflessivi; spazi separabili; spazi uniformemente convessi; spazi di Lebesgue: definizione e principali proprietà degli spazi L^p; disuguaglianza di Holder; Teorema di Fischer-Riesz; riflessività, separabilità e duale; Teorema di rappresentazione di Riesz.
  • Trasformazione di Fourier: trasformata di Fourier in L^1(R); definizione e proprietà; trasformazione di Fourier e derivazione; trasformazione e convoluzione; antitrasformata di Fourier; trasformata di Fourier in L^2(R); Teorema di Plancherel; alcune applicazioni.
  • Trasformazione di Laplace: definizione e proprietà; trasformata di Laplace e derivazione; trasformata di Laplace e convoluzione; inversione della trasformata di Laplace; legame con la trasformazione di Fourier; alcune applicazioni.

Programma dettagliato del corsocontiene indicazioni precise sui diversi argomenti trattati e sulle dimostrazioni (c.d. = con dimostrazione) richieste per la prova orale (si veda l'allegato alla pagina).

Prerequisiti: calcolo differenziale e integrale in una e più variabili; topologia generale;
forme differenziali lineari; successioni e serie di funzioni; serie di potenze e serie di Fourier; funzioni analitiche in campo reale; equazioni differenziali ordinarie; misura e integrazione secondo Lebesgue.

Orario del corso: reperibile sul sito del corso di studi http://corsi.unica.it/matematica/studenti/orario-lezioni/laurea-magistrale/

Testi di riferimento: i testi principali utilizzati durante il corso sono i seguenti (rispettivamente, per gli argomenti: analisi complessa, analisi funzionale, trasformate):

L.V. Ahlfors, Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, third edition, McGraw-Hill (1979).

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev Spaces and partial differential equations, Springer, New York (2011).

G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli (2001).

Dispense: si vedano le dispense (aggiornate più di recente) relative all'anno accademico in corso.

Modalità della prova d’esame: la verifica dell’apprendimento avviene tramite una prova scritta e una orale. La prima prevede la risoluzione di un esercizio di analisi complessa (a tal proposito si veda l’obiettivo formativo “conoscenze applicative”), simile a quelli svolti durante le lezioni in aula, e una domanda a risposta aperta, riguardante i contenuti relativi all’analisi complessa, che può richiedere la dimostrazione di un teorema e/o l’esposizione di concetti e/o l’esibizione di un esempio (la domanda può quindi essere articolata in più punti); la durata della prova scritta è di due ore e mezza.
La seconda (che deve essere sostenuta entro tre mesi dalla prova scritta) consiste in un colloquio durante il quale lo studente deve dimostrare di conoscere i contenuti riguardanti l’analisi funzionale e le trasformate: il docente fa tre domande principali sugli argomenti trattati a lezione; a queste se ne possono aggiungere eventualmente altre, volte ad accertare che lo studente abbia padronanza dei contenuti (il numero degli interventi del docente dipende, ovviamente, anche dal livello di preparazione dello studente: se è sufficientemente esaustivo, le ulteriori domande saranno ridotte); durante l’esposizione si tiene in considerazione la capacità di collegare gli argomenti trattati, di citare autonomamente (senza che venga espressamente richiesto) esempi e/o applicazioni della teoria esposta. La durata della prova dipende dal livello di preparazione dello studente; in media è di 45 minuti.

Il voto è espresso in trentesimi in entrambe le prove, e il voto finale è ottenuto facendo la media dei due. Se la prova orale non viene superata, lo studente ha la possibilità di sostenerla un’altra volta conservando la validità del voto della prova scritta (se la scadenza dei tre mesi non è stata superata). Nella prova scritta viene specificato il punteggio assegnato a ciascuna parte da svolgere. Vengono valutati il livello di conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di mettere in relazione i contenuti, la chiarezza e correttezza espositiva e la capacità di applicazione delle conoscenze relativamente alla parte degli esercizi di analisi complessa.
Per superare l’esame lo studente deve dimostrare di possedere una conoscenza di base degli argomenti trattati nel corso. La lode viene attribuita nel caso di prove particolarmente brillanti. In particolare, il voto finale dopo il colloquio orale è assegnato seguendo la seguente Tabella Docimologica:

Insufficiente: lo studente dimostra di non conoscere e/o non aver compreso i contenuti fondamentali del corso.

18-24: lo studente conosce quasi tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato sufficientemente gli argomenti.

25-28: lo studente conosce tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato bene gli argomenti; possiede una buona padronanza di linguaggio ed espone chiaramente i contenuti.

29-30: lo studente conosce molto bene tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato molto bene gli argomenti; possiede una buona padronanza di linguaggio ed espone molto chiaramente i contenuti; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

30 e lode: lo studente conosce perfettamente tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato in profondità tutti gli argomenti; possiede un’ottima padronanza di linguaggio e ed espone molto chiaramente i contenuti; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

Le date degli appelli (6 in un anno accademico) sono fissate per la prova scritta, mentre la successiva prova orale può essere concordata col docente (personalmente, telefonicamente o via email) con almeno una settimana d’anticipo.

Date delle prove scritte d’esame:

13 gennaio 2020: ore 9:30, aula D;

3 febbraio 2020: ore 9:30, aula D;

24 febbraio 2020: ore 9:30, aula D;

9 giugno 2020 (l'esame si è svolto in modalità online);

14 luglio 2020 (l'esame si è svolto in modalità online);

10 settembre 2020 (l'esame si è svolto in modalità online).

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